Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，其離心率e=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PF₁F₂面積的最大值為4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若A，B，C，D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)F₁，$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=0，求|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易知道當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂面積最大，再根據(jù) 橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$可得到關(guān)于a，c的方程組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}c=4\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解該方程組即可得到a，c，b，從而得出橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）先容易求出AC，BD中有一條直線不存在斜率時(shí)|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=14，當(dāng)直線AC存在斜率k且不為0時(shí)，寫出直線AC的方程y=k（x+2），聯(lián)立橢圓的方程消去y得到（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式即可求得$|\overrightarrow{AC}|=\frac{24（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，把k換上$-\frac{1}{k}$即可得到$|\overrightarrow{BD}|=\frac{24（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$．所以用k表示出$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=\frac{168（{k}^{2}+1）}{（3+4{k}^{2}）（4+3{k}^{2}）}$，這時(shí)候設(shè)k²+1=t，t＞1，從而得到$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出$\frac{t-1}{{t}^{2}}$的范圍，從而求出$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，當(dāng)P是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)△PF₁F₂的面積取最大值；
∴$\frac{1}{2}•2c•b=4\sqrt{3}$；
即$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}c=4\sqrt{3}$①；
由離心率為$e=\frac{1}{2}$得：
$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$②；
∴聯(lián)立①②解得a=4，c=2，b²=12；
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-2，0）；
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0$，∴AC⊥BD；
（1）當(dāng)直線AC，BD中一條直線斜率不存在時(shí)，$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=8+6=14$；
（2）當(dāng)直線AC斜率為k，k≠0時(shí)，其方程為y=k（x+2），將該方程帶入橢圓方程并整理得：
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0；
若設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$；
直線BD的方程為y=$-\frac{1}{k}（x+2）$，同理可得$|\overrightarrow{BD}|=\frac{24（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{168（{k}^{2}+1）^{2}}{（3+4{k}^{2}）（4+3{k}^{2}）}$；
令k²+1=t，t＞1；
∴$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|=\frac{168{t}^{2}}{（4t-1）（3t+1）}$=$\frac{168{t}^{2}}{12{t}^{2}+t-1}$=$\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}$；
設(shè)f（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，（t＞1），f′（t）=$\frac{-t+2}{{t}^{3}}$；
∴t∈（1，2）時(shí)，f′（t）＞0，t∈（2，+∞）時(shí)，f′（t）＜0；
∴t=2時(shí)，f（t）取最大值$\frac{1}{4}$，又f（t）＞0；
∴$0＜\frac{t-1}{{t}^{2}}≤\frac{1}{4}$；
∴$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$$∈[\frac{96}{7}，14）$；
∴綜上得$|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{BD}|$的取值范圍為$[\frac{96}{7}，14]$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形的面積公式，橢圓離心率的概念，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，a，b，c三個(gè)系數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，以及弦長公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法．