【題目】在無窮數(shù)列中,,記前項中的最大項為,最小項為,令.
(1)若的前項和滿足.
①求;
②是否存在正整數(shù)滿足?若存在,請求出這樣的,若不存在,請說明理由.
(2)若數(shù)列是等比數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.
【答案】(1)①;②存在,,或;(2)證明見解析
【解析】
(1)①根據(jù),先求出,再由,求出,即可得出;
②先假設存在滿足條件的正整數(shù)滿足題意,得出,設,研究其增減性,設,得,設,研究其增減性,進而可得出結(jié)果;
(2)因為,且、分別為前項中的最大項和最小項,所以,,設數(shù)列的公比為,顯然,分別討論,,,三種情況,即可得出結(jié)果.
解:①在中,令,得,解得,∴,
當時,,
綜上.
顯然為單調(diào)遞增數(shù)列,所以,,所以.
②假設存在滿足條件的正整數(shù),則,所以,
設,則,所以,
由,得,∴,則,
當時,顯然不成立,
當時,,
設,則,,得,
設,則恒成立,
所以數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,則時,恒成立,
故方程的解有且僅有,或,,
故滿足條件的存在,,或.
(2)證明:因為,且、分別為前項中的最大項和最小項,
所以,,設數(shù)列的公比為,顯然,
①當時,,得,
若,則,由與的含義可知與不可能同時成立,
故,則,則,,∴,∴,
所以數(shù)列是等比數(shù)列.
②當時,,得,
∴,∴恒成立,而,所以,∴恒成立,
∴,,代入得,即,
所以數(shù)列是等比數(shù)列.
③當時,,得,
∴,∴恒成立,而,所以,∴恒成立,
∴,,代入得,即,
所以數(shù)列是等比數(shù)列.
綜上①②③,數(shù)列是等比數(shù)列.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B為橢圓C:短軸的上、下頂點,P為直線l:y=2上一動點,連接PA并延長交橢圓于點M,連接PB交橢圓于點N,已知直線MA,MB的斜率之積恒為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若直線MN與x軸平行,求直線MN的方程;
(3)求四邊形AMBN面積的最大值,并求對應的點P的坐標.
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【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線,一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到,任畫一條線段,然后把它均分成三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并把中間一段去掉,這樣,原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線,稱為“一次構(gòu)造”;用同樣的方法把每條小線段重復上述步驟,得到16條更小的線段構(gòu)成的折線,稱為“二次構(gòu)造”,…,如此進行“次構(gòu)造”,就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達到初始線段的1000倍,則至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是( ).(取,)
A.16B.17C.24D.25
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【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式,并證明:.
(2)已知,且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,兩點,且線段的中點為,證明:.
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【題目】隨著城市地鐵建設的持續(xù)推進,市民的出行也越來越便利.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計,某條地鐵線路運行時,發(fā)車時間間隔t(單位:分鐘)滿足:4≤t≤15,N,平均每趟地鐵的載客人數(shù)p(t)(單位:人)與發(fā)車時間間隔t近似地滿足下列函數(shù)關系:,其中.
(1)若平均每趟地鐵的載客人數(shù)不超過1500人,試求發(fā)車時間間隔t的值.
(2)若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為(單位:元),問當發(fā)車時間間隔t為多少時,平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大?井求出最大凈收益.
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【題目】已知平行四邊形中,,平面平面,三角形為等邊三角形,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面
①求異面直線與所成角的余弦值;
②求二面角的正弦值.
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【題目】已知的實常數(shù),函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點,
(。┣髮崝(shù)的取值范圍;
(ⅱ)證明: .
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