Question

先閱讀如圖框圖，再解答有關(guān)問題：
（Ⅰ）當(dāng)輸入的n分別為1，2，3時，a各是多少？
（Ⅱ）當(dāng)輸入已知量n時，①輸出a的結(jié)果是什么？試用含有n的式子表示出來；
                    ②輸出S的結(jié)果是什么？寫出求S的過程．

Answer 1

考點：程序框圖

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,算法和程序框圖

分析：（I）根據(jù)程序框圖的流程，分別代入n=1，2，3．計算a值．
（II）①由框圖知a_n=

2n-3

2n+1

a_n-1（n≥2），又a₁=

1

3

，利用逐積法求得a_n；②由a_n=

1

4n2-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），又輸出S的結(jié)果為數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，用裂項相消法求和，可得答案．

解答： 解：（I）當(dāng)n=1時，a=

1

3

；
當(dāng)n=2時，a=

1 3 ×(2×2-3)

5

=

1

15

；當(dāng)n=3時，a=

1 15 ×(2×3-3)

2×3+1

=

1

35

．
（II）①記輸入n時，輸出a的結(jié)果為a_n，
則a₁=

1

3

，a_n=

2n-3

2n+1

a_n-1（n≥2），∴

an

an-1

=

2n-3

2n+1

（n≥2）．
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a₁=

2n-3

2n+1

•

2n-5

2n-1

•

2n-7

2n-3

…

1

5

•

1

3

=

1

2n+1

•

1

2n-1

=

1

4n2-1

．
②輸出S的結(jié)果為數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
由①知，a_n=

1

4n2-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

點評：本題借助考查程序框圖，主要考查了由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式及裂項相消法求數(shù)列的和，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運算能力．