【題目】已知，且，圓，點，是圓上的動點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡為曲線.

（1）討論曲線的形狀，并求其方程；

（2）若，且面積的最大值為，直線過點且不垂直于坐標軸，與曲線交于，點關(guān)于軸的對稱點為．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】（1）當時，曲線是橢圓,其方程為；當時曲線是雙曲線,其方程為；（2）證明詳見解析，定點坐標.

【解析】

（1）分點在圓內(nèi)和點在圓外兩種情況討論，兩者都可以利用圓錐曲線的定義得到相應(yīng)的曲線方程.

（2）設(shè)，，則直線與軸交點的橫坐標為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡后可得為定值，從而可證直線過定點.

當時，點在圓內(nèi)，，

故曲線是以為焦點，以為長軸長的橢圓，其方程為.

當時，點在圓外，，

曲線是以為焦點，以為實軸長的雙曲線，其方程為.

綜上，當時，曲線是橢圓,其方程為；當時曲線是雙曲線,其方程為；

（2）由面積有最大值為知，曲線只可能是橢圓，

由橢圓幾何性質(zhì)知，當位于短軸端點時其面積有最大值，因，

故其短半軸長為，又因焦距為2，

故曲線的方程為.

設(shè)，，則，

聯(lián)立，消去得：，

，

直線，

由橢圓的對稱性知，若直線過定點，則該定點必在軸上，

故令得：，

所以直線過定點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.設(shè)點的極坐標為.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）若過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實的需要，從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（），項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高

（1）若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務(wù)工作？

（2）在（1）的條件下，當從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時，才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國（居民消費價格指數(shù)），同比上漲，上漲的主要因素是豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響上漲3.27個百分點．下圖是2019年11月一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該圖，下列四個結(jié)論正確的有______．

①一籃子商品中權(quán)重最大的是居住

②一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過

③豬肉在一籃子商品中權(quán)重為

④豬肉與其他禽肉在一籃子商品中權(quán)重約為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市勞動部門堅持就業(yè)優(yōu)先，釆取多項措施加快發(fā)展新興產(chǎn)業(yè)，服務(wù)經(jīng)濟，帶來大量就業(yè)崗位，據(jù)政府工作報告顯示，截至2018年末，全市城鎮(zhèn)新增就業(yè)21.9萬人，創(chuàng)歷史新高．城鎮(zhèn)登記失業(yè)率為4.2%，比上年度下降0.73個百分點，處于近20年來的最低水平．

（1）現(xiàn)從該城鎮(zhèn)適齡人群中抽取100人，得到如下列聯(lián)表：

失業(yè)

就業(yè)

合計

男

3

62

65

女

2

33

35

合計

5

95

100

根據(jù)聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為失業(yè)與性別有關(guān)？

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

（2）調(diào)查顯示，新增就業(yè)人群中，新興業(yè)態(tài)，民營經(jīng)濟，大型國企對就業(yè)支撐作用不斷增強，其崗位比例為2∶5∶3，現(xiàn)要抽取一個樣本容量為50的樣本，則這三種崗位應(yīng)該各抽取多少人？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)離心率為 的橢圓 的左、右焦點為 , 點P是E上一點, , 內(nèi)切圓的半徑為 .

(1)求E的方程;

(2)矩形ABCD的兩頂點C、D在直線上，A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長為 , 求直線AB的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線： .以為極點， 軸的非負半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）射線（）與曲線的異于極點的交點為，與曲線的交點為，求.

【答案】(1) 的極坐標方程為， 的極坐標方程為；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線，再根據(jù)將曲線的極坐標方程；（2）將代人曲線的極坐標方程，再根據(jù)求.

試題解析：（1）曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）

可化為普通方程，

由，可得曲線的極坐標方程為，

曲線的極坐標方程為.

（2）射線（）與曲線的交點的極徑為，

射線（）與曲線的交點的極徑滿足，解得，

所以.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）設(shè)的解集為，求集合；

（2）已知為（1）中集合中的最大整數(shù)，且（其中，，為正實數(shù)），求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據(jù)“勾股定理”所畫出來的一個可以無限重復的圖形，也叫“勾股樹”，其是由一個等腰直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到.圖1所示是第1代“勾股樹”，重復圖1的作法，得到第2代“勾股樹”(如圖2)，如此繼續(xù).若“勾股樹”上共得到8191個正方形，設(shè)初始正方形的邊長為1，則最小正方形的邊長為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：

（1）平面平面；

（2）若為棱上一點，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.

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