Question

已知：正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁=AB=a，D為CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是A₁B的中點(diǎn)，A₁D與AC的延長線交于點(diǎn)M．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
（3）求平面A₁BD與平面ABC所成的較小二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DF∥平面ABC．
（2）由

AF

•

BD

=0，利用向量法能證明AF⊥BD．
（3）求出平面A₁BD的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面A₁BD與平面ABC所成的較小二面角的大�。�

解答： （1）證明：以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A₁（0，0，a），B（

3 a

2

，

a

2

，0），
F（

3 a

4

，

a

4

，

a

2

），D（0，a，

a

2

），

DF

=（-

3 a

4

，

3a

4

，0），
平面ABC的法向量

n

=（0，0，1），
∵

DF

•

n

=0，且DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）證明：

AF

=（

3 a

4

，

a

4

，

a

2

），

BD

=（-

3 a

2

，

a

2

，

a

2

），
∴

AF

•

BD

=-

3

8

a2+

a2

8

+

a2

4

=0，
∴AF⊥BD．
（3）解：

A1B

=（

3

2

a，

1

2

a，-a），

A1D

=（0，a，-

a

2

），
設(shè)平面A₁BD的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • A1B = 3 a 2 x+ a 2 y-az=0 m • A1D =ay- a 2 z=0

，取z=2，得

m

=（

3

，1，2），
設(shè)平面A₁BD與平面ABC所成的較小二面角為θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

2

3+1+4

=

2

2

，
∴θ=

π

4

．
∴平面A₁BD與平面ABC所成的較小二面角為

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．