Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|

x

-ax-b|，a，b∈R．
（1）當(dāng)a=0，b=1時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，記函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（b），當(dāng)b變化時(shí)，求g（b）的最小值；
（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0，b=1時(shí)，f（x）=|

x

-1|=

1- x ，0＜x＜1 x -1，x＞1

，易寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=|

x

-

1

2

x-b|，令h（x）=

x

-

1

2

x-b，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間[0，4]上-b≤h(x)≤h(1)=

1

2

-b，從而可知當(dāng)b=

1

4

時(shí)，g（b）取最小值，最小值為

1

4

；
（3）分情況討論a不同取值時(shí)函數(shù)u（x）=

x

-ax-b在[0，4]上的范圍，從而確定f（x）的最大值，將對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立，轉(zhuǎn)化為m≤m≤f（x）_max恒成立，即可解決．

解答： 解：（1）∵a=0，b=1，f（x）=|

x

-ax-b|，
∴f（x）=|

x

-1|=

1- x ，0＜x＜1 x -1，x＞1

，
由基本初等函數(shù)的單調(diào)性易知，
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）=|

x

-

1

2

x-b|，
令h（x）=

x

-

1

2

x-b，則
h′(x)=

1

2 x

-

1

2

，
由h′（x）＜0，即0≤x＜1時(shí)，h（x）單調(diào)遞增；h′（x）＞0，即x＞1時(shí)，h（x）單調(diào)遞減可知，
在區(qū)間[0，4]上-b≤h(x)≤h(1)=

1

2

-b，
當(dāng)b≤

1

4

時(shí)，|-b|≤|

1

2

-b|，
此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（b）=|

1

2

-b|=

1

2

-b，
當(dāng)b＞

1

4

時(shí)，|-b|＞|

1

2

-b|，
此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（b）=|-b|=b
∴當(dāng)b=

1

4

時(shí)，g（b）取最小值，最小值為

1

4

．
（3）設(shè)f（x）的最大值為M（b），
令u（x）=

x

-ax-b，則u′(x)=

1

2 x

-a
在x∈[0，4]上，
當(dāng)u′（x）≥0，即a≤

1

4

時(shí)，u（x）單調(diào)遞增，
此時(shí)-b≤u（x）≤2-4a-b，
當(dāng)b≤1-2a時(shí)，M（b）=2-4a-b，當(dāng)b＞1-2a時(shí)，M（b）=b，
從而當(dāng)a≤

1

4

時(shí)，b=1-2a時(shí)M（b）取最小值，M（b）_min=1-2a≥

1

2

，
當(dāng)a＞

1

4

時(shí)，u（x）在[0，

1

4a2

）上單調(diào)遞增，在[

1

4a2

，4]上單調(diào)遞減，
在a∈[

1

4

，

1

2

]時(shí)，-b≤u(x)≤

1

4a

-b，當(dāng)b=

1

8a

時(shí)，M（b）_min=

1

8a

≥

1

4

，
在a∈(

1

2

，+∞)時(shí)，2-4a-b≤u(x)≤

1

4a

-b，當(dāng)b=1-2a+

1

8a

時(shí)，M（b）_min=2a+

1

8a

-1＞

1

4

，
綜上所述，M（b）_min=

1

4

，
對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x₀∈[0，4]使得不等式f（x₀）≥m成立等價(jià)于m≤f（x）_max恒成立，
∴m≤

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，和存在性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于壓軸題，難題．