【題目】某公司決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估,該商品原來每件售價為25元,年銷售8萬件.

(1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?

(2)為了抓住2022年冬奧會契機(jī),擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略改革,并提高定價到元.公司擬投入萬作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,投入萬元作為浮動宣傳費用.試問:當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.

【答案】(1)40元(2)至少達(dá)到10.2萬件時符合要求,此時每件定價為30元

【解析】

(1)設(shè)出每件的定價,根據(jù)“銷售的總收入不低于原收入”列不等式,解不等式求得定價的取值范圍,由此求得定價的最大值.(2)利用題目所求“改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和”列出不等式,將不等式分離常數(shù),然后利用基本不等式求得的取值范圍以及此時商品的每件定價.

解:(1)設(shè)每件定價為元,

依題意得

整理得,

解得

所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元.

(2)依題意知當(dāng)時,不等式有解

等價于時,有解,

由于,

當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,

所以

當(dāng)該商品改革后銷售量至少達(dá)到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.

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