Question

已知函數(shù)f（x）=ln（-x）+ax-

1

x

（a為常數(shù)），在x=-1時取極值
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（-x）+2x，求g（x）的最小值
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}滿足a_n=

an-1

an-1+1

（n∈N^*且n≥2），a₁=

1

2

，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：2ⁿ•a_n≥eSn+an-1（n∈N^*，e是自然數(shù)對數(shù)的底）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，由題意得f′（-1）=0，解出可得a；
（Ⅱ）表示出g（x），利用導數(shù)可得單調(diào)區(qū)間，通過單調(diào)區(qū)間可確定最小值；
（Ⅲ）首先由數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再利用（Ⅱ）中的結論，即g(x)=lnx+

1

x

+2x≥3-ln2，其中，令x=

n

n+1

，代入不等式，進行化簡，累加即可證明原不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ln（-x）+ax-

1

x

，
∴f′（x）=

1

x

+a+

1

x2

，
∵f（x）在x=-1時取得極值，
∴f′（-1）=-1+a+1=0，解得：a=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=ln（-x）-

1

x

，
∴f（-x）=lnx+

1

x

，
g（x）=lnx+2x+

1

x

；
∴g′（x）=

1

x

+2-

1

x2

=

2x2+x-1

x2

=

(2x-1)(x+1)

x2

，
令g′（x）=0，解得：x₁=

1

2

，x=-1（舍），
在（0，

1

2

）上，g（x）＜0，在（

1

2

，+∞）上，g（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

1

2

）=3-ln2．
（Ⅲ）an=1-

1

an-1+1

，
∴an=

an-1

an-1+1

，

1

an

=1+

1

an-1

，
∴{

1

an

}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=n+1．
∴an=

1

n+1

．
由（Ⅱ）知g（x）=lnx+

1

x

+2x≥3-ln2，
令x=

n

n+1

得：ln

n

n+1

+

n+1

n

+

2n

n+1

≥3-ln2，即ln

n

n+1

+ln2≥

2

n+1

-

1

n

，
∴ln

1

2

+ln2≥

2

2

-

1

1

，ln

2

3

+ln2≥

2

3

-

1

2

，
…，
ln

n

n+1

+ln2≥

2

n+1

-

1

n

，
累加得，ln

1

n+1

+nln2≥

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

+

1

n+1

-1=s_n+a_n-1，即lna_n+ln2ⁿ≥S_n+a_n-1
∴2ⁿ•a_n≥eSn+an-1．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性等知識，本題最后一問綜合性比較強，是數(shù)列和不等式的綜合應用，難度較大，特別是將（Ⅱ）中的結論應用于該數(shù)列，對x的賦值，比較困難，包括后面的化簡，也是需要比較高的觀察分析能力和計算能力．