Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上．
（1）求a₁，a₂；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若b_n=

1

anan+1an+2

，求證數(shù)列{b_n}的前n項和T_n＜

1

60

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）把點P_n（n，S_n）代入函數(shù)f（x）=x²+2x，得到數(shù)列{a_n}的前n項和，分別取n=1，2求得a₁，a₂；
（2）直接由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出數(shù)列通項，驗證a₁后得答案；
（3）把（2）中求得的數(shù)列的通項公式代入b_n=

1

anan+1an+2

，利用裂項相消法求和后證明不等式T_n＜

1

60

．

解答： （1）解：∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，
∴Sn=n2+2n(n∈N*)，
∴a₁=S₁=3，
又a1+a2=S2=22+2×2=8，
∴a₂=5；
（2）解：由（1）知，Sn=n2+2n(n∈N*)，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
由（1）知，a₁=3=2×1+1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1；
（3）證明：由（2）得，
bn=

1

(2n+1)(2n+3)(2n+5)

=

1

4

[

1

(2n+1)(2n+3)

-

1

(2n+3)(2n+5)

]
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4

[

1

3×5

-

1

5×7

+

1

5×7

-

1

7×9

+…+

1

(2n+1)(2n+3)

-

1

(2n+3)(2n+5)

]
=

1

4

[

1

3×5

-

1

(2n+3)(2n+5)

]=

1

60

-

1

4(2n+3)(2n+5)

＜

1

60

．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了利用數(shù)列的前n項和求通項公式，考查了利用裂項相消法求數(shù)列的和，體現(xiàn)了放縮法證明不等式的解題思想，是中高檔題．