在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)M，|
AB
|=4，|
AD
|=2，
AB
、
AD
的夾角為
π
3
．
（1）若
AM
=λ
AC
+μ
BD
，求λ+3μ的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的邊BC和CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求
AP
•
AE
的取值范圍．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）如圖所示，由于在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)M，可得
AM
=
2
3
AE
，利用三角形法則和共線定理可得
AE
=
AD
+
1
2
AB
，可得
AM
=
2
3
AD
+
1
3
AB
．利用三角形法則可得
AC
，
BD
，分別用
AD
，
AB
表示，代入
AM
=λ
AC
+μ
BD
，比較即可得出．
（2）通過建立直角坐標(biāo)系，利用共線定理和及時(shí)性法則即可得出．
解答： 解：（1）如圖所示，
∵在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)M，
∴
AM
=
2
3
AE
，
又
AE
=
AD
+
DE
=
AD
+
1
2
DC
=
AD
+
1
2
AB
，
∴
AM
=
2
3
(
AD
+
1
2
AB
)=
2
3
AD
+
1
3
AB
．
AC
=
AD
+
AB
，
BD
=
AD
-
AB
，
代入
AM
=λ
AC
+μ
BD
，
可得
2
3
AD
+
1
3
AB
=λ(
AD
+
AB
)+μ(
AD
-
AB
)=(λ+μ)
AD
+(λ-μ)
AB
，
∴
λ+μ=
2
3
λ-μ=
1
3
，解得λ=
1
2
，μ=
1
6
．
∴λ+3μ=
1
2
+3×
1
6
=1．
（2）如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
則A（0，0），B（4，0），C(5，
3
)，D(1，
3
)，E(3，
3
)．
∴
AB
=（4，0）=
DC
，
BC
=(1，
3
)=
AD
，
AE
=(3，
3
)，．
①當(dāng)點(diǎn)P位于邊BC上時(shí)，設(shè)
BP
=λ
BC
（0≤λ≤1）．
則
AP
=
AB
+
BP
=
AB
+λ
BC
=（4，0）+λ(1，
3
)=(4+λ，
3
λ)．
∴
AP
•
AE
=(4+λ，
3
λ)•(3，
3
)
=3（4+λ）+3λ
=6λ+12，
∵0≤λ≤1，∴12≤6λ+12≤18．
∴
AP
•
AE
的取值范圍是[12，18]．
②當(dāng)點(diǎn)P位于邊CD上時(shí)，設(shè)
DP
=μ
DC
（0≤μ≤1）．
∴
AP
=
AD
+
DP
=
AD
+μ
DC
=(1，
3
)+μ(4，0)=(1+4μ，
3
)．
∴
AP
•
AE
=(1+4μ，
3
)•(3，
3
)=3（1+4μ）+3=12μ+6．
∵0≤μ≤1，∴6≤12μ+6≤18．
∴
AP
•
AE
的取值范圍是[6，18]．
綜上①②可知：
AP
•
AE
的取值范圍是[6，18]．
點(diǎn)評：本題考查了向量的三角形法則、共線定理、線性運(yùn)算、一次函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．
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x2-2x+4
x
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．

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2
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2
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3
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3

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π
2
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2
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3
2
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1
k
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