Question

已知?jiǎng)訄AC與圓C1：(x+1)2+y2=1相外切，與圓C2：(x-1)2+y2=9相內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心C的軌跡為T，且軌跡T與x軸右半軸的交點(diǎn)為A．
（Ⅰ）求軌跡T的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m與軌跡為T相交于M、N兩點(diǎn)（M、N不在x軸上）．若以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距和半徑的關(guān)系得到點(diǎn)C的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)（c=1），長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓，從而求得橢圓方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出M、N橫縱坐標(biāo)的積，由以以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，代入坐標(biāo)后求出k與m的關(guān)系，從而證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： （Ⅰ）解：∵動(dòng)圓C與圓C1：(x+1)2+y2=1相外切，與圓C2：(x-1)2+y2=9相內(nèi)切，
∴|CC₁|=r+1，|CC₂|=3-r，
∴|CC₁|+|CC₂|=4         …（2分）
∴點(diǎn)C的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)（c=1），長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓       …（4分）]
∴點(diǎn)C的軌跡T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=kx+m代入橢圓方程得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

． （*式）     …（8分）
∵M(jìn)N為直徑的圓過點(diǎn)A，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
∴

AM

•

AN

=0，即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．   …（10分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，y1y2=k2x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2，
代入（*式）得：7m²+16km+4k²=0，
∴

m

k

=-

2

7

或

m

k

=-2都滿足△＞0，…（12分）
由于直線l：y=kx+m與x軸的交點(diǎn)為（-

m

k

，0），
當(dāng)

m

k

=-2時(shí)，直線l恒過定點(diǎn)（2，0），不合題意舍去，
∴

m

k

=-

2

7

，直線l：y=k(x-

2

7

)恒過定點(diǎn)(

2

7

，0)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用數(shù)量積判斷向量的垂直，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，這樣使解題過程簡(jiǎn)化．