Question

已知橢圓的一個焦點(diǎn)為(

2

，0)，且長軸長為短軸長的

3

倍．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為A，且橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)M，N．當(dāng)|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，利用橢圓的一個焦點(diǎn)為(

2

，0)，且長軸長為短軸長的

3

倍，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，直線與橢圓方程聯(lián)立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，可得m²＜3k²+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推導(dǎo)出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓的一個焦點(diǎn)為(

2

，0)，且長軸長為短軸長的

3

倍，
∴c=

2

，a=

3

b，
∴a=

3

，b=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1；
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，直線方程代入橢圓方程，消去y得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
由于直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
∴xp=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，
∴y_P=kx_P+m=

m

3k2+1

∴k_AP=

yP+1

xp

=-

m+3k2+1

3mk

，
又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2由②得k²=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

．
故所求m的取范圍是（

1

2

，2）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．