Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，其圖象經(jīng)過點(diǎn)M（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；且當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)f（x）的取值范圍
（2）設(shè)A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且f（A）=$\frac{3}{5}$，f（B）=$\frac{5}{13}$，求f（C）的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)f（x）的取值范圍．
（2）由條件求得可得cosA 和cosB 的值，可得sinA和sinB的值，從而求得f（C）=sinC=sin（A+B）的值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，
可得A=1，$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1．
再根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），可得sinφ=1，∴φ=$\frac{π}{2}$，∴函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故（x）的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，1]．
（2）設(shè)A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，由f（A）=$\frac{3}{5}$，f（B）=$\frac{5}{13}$，可得cosA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{5}{13}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，sinB=$\frac{12}{13}$，∴f（C）=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．