Question

9．如圖，將長(zhǎng)$A{A^'}=3\sqrt{3}$，寬AA₁=3的矩形沿長(zhǎng)的三等分線處折疊成一個(gè)三棱柱，如圖所示：
（1）求異面直線PQ與AC所成角的余弦值；
（2）求三棱錐A₁-APQ的體積．

Answer 1

分析 （1）在B₁B上取一點(diǎn)D，使得B₁D=1，連結(jié)A₁D，C₁D，即可求異面直線PQ與AC所成角的余弦值；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐A₁-APQ的體積．

解答 解：（1）由已知，三棱柱為直三棱柱，PB=1，QC=2，
在B₁P上取一點(diǎn)D，使得B₁D=1，連結(jié)A₁D，C₁D，則PQ∥C₁D，
∴∠A₁C₁D為直線PQ與AC所成的角…（3分）
又A₁D=C₁D=2，A₁C₁=$\sqrt{3}$，
在△A₁C₁D中，cos∠A₁C₁D=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴直線PQ與AC所成的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．…（7分）
（2）△A₁AP的面積為$\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)Q到平面A₁AP的距離為$\frac{3}{2}$，
則${V}_{{A}_{1}-APQ}$=${V}_{Q-{A}_{1}AP}$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線PQ與AC所成的夾角的余弦值的求法，考查棱錐的體積的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．