Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）
（Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））處切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞），f（x）上的點(diǎn)均在$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y-x≤0\end{array}$表示的區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：$\sum_{i=1}^{i=n}{ln[{\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{{n（{n+2}）}}}]}$＜$\frac{3}{2}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程；
（II）由題意可得當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，ax²+ln（x+1）≤x，構(gòu)造g（x）=ax²+ln（x+1）-x，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，對(duì)a討論，得到g（x）≤0恒成立的a的范圍；
（Ⅲ）令g（x）=ln（x+1）-2x（x≥0），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，再令x=$\frac{1}{n（n+2）}$，則ln（1+$\frac{1}{n（n+2）}$）＜$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，再由裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 （I）解：f′（x）=2ax+$\frac{1}{x+1}$，
則切線的斜率為f′（0）=1，又f（0）=0，
∴f（x）在（0，f（0））處切線方程為y=x；
（II）解：∵當(dāng)x∈[0，+∞），f（x）上的點(diǎn)均在$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y-x≤0\end{array}$表示的區(qū)域內(nèi)，
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，ax²+ln（x+1）≤x，
即g（x）=ax²+ln（x+1）-x≤0，
g′（x）=2ax+$\frac{1}{x+1}$-1=2ax-$\frac{x}{x+1}$．
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）≤0，
∴函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（0）=0，滿足題意，因此a≤0適合條件；
當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）=$\frac{2ax（x-\frac{1-2a}{2a}）}{x+1}$．
當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）≥0，不滿足題意，舍去；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，令g′（x）＞0，解得$x＞\frac{1-2a}{2a}$，
此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，
解得$0＜x＜\frac{1-2a}{2a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴$g（\frac{1-2a}{2a}）$＜g（0）=0，
不滿足題意，舍去．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．
（Ⅲ）證明：令h（x）=ln（x+1）-2x（x≥0），
則h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2=$\frac{-1-2x}{x+1}$＜0，
h（x）在[0，+∞）遞減，
即有h（x）≤h（0）=0，
則ln（x+1）≤2x，
令x=$\frac{1}{n（n+2）}$，
則ln（1+$\frac{1}{n（n+2）}$）＜$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，
即有$\sum_{i=1}^{n}\frac{（i+1）^{2}}{i（i+2）}$=$\sum_{i=1}^{n}$（1+$\frac{1}{i（i+2）}$）＜（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{3}{2}$．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問(wèn)題，解題過(guò)程中多次用到了轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，同時(shí)考查不等式的證明，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和裂項(xiàng)相消求和，本題難度比較大，是一道綜合題．