Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，a₁=1，當n∈N⁺有a_n+1=

Sn

n

+n+1．
（1）求{a_n}的通項公式
（2）記b_n=

1

an

，求證：b₁+b₂+…+b_n≤

2n-1

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=

Sn

n

+n+1，得na_n+1=S_n+n²+n①，(n-1)an=Sn-1+(n-1)2+(n-1)②（n≥2），兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，注意檢驗n=1時情形；
（2）易求b_n，用數(shù)學歸納法可證明；

解答： 解：（1）由a_n+1=

Sn

n

+n+1，得na_n+1=S_n+n²+n①，
(n-1)an=Sn-1+(n-1)2+(n-1)②（n≥2），
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，即a_n+1-a_n=2（n≥2），
又a₂=S₁+2，∴a₂-a₁=2，
∴{a_n}為等差數(shù)列，首項為1，公差為2，
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）由（1）知，b_n=

1

an

=

1

2n-1

，
則b₁+b₂+…+b_n≤

2n-1

即為1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤

2n-1

，
①當n=1時，左邊=1，右邊=1，不等式成立；
②假設n=k時，不等式成立，即1+

1

3

+…+

1

2k-1

≤

2k-1

，
則n=k+1時，1+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k+1

≤

2k-1

+

1

2k+1

=

4k2-1 +1

2k+1

＜

2k+1

2k-1

=

2k+1

，
∴n=k+1時不等式也成立；
綜上，b₁+b₂+…+b_n≤

2n-1

．

點評：該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、不等式的證明等知識，考查學生的運算求解能力．