Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F與P（2，-1）關(guān)于直線l：x-y-2=0對稱，中心在坐標(biāo)原點的橢圓經(jīng)過兩點M（1，），N（-，），且拋物線與橢圓交于兩點A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．
（1）求出拋物線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l′與拋物線相切于點A，試求直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（3）若（2）中直線l′與圓x²-2mx+y²+2y+m²-=0恒有公共點，試求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，
因為橢圓經(jīng)過兩點M（1，），N（-，），
所以可得
由①與②消去m可得n=，③
將③代入①得m=，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．
拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，），依題意得直線FP與直線l：x-y-2=0互相垂直，所以直線FP的斜率為-1，則k_FP==-1，解得p=2，所以x²=4y．
（2）由得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合題意，舍去），
當(dāng)y=1時，得x=±2，因為x_A＜x_B，所以A（-2，1），對y=x²求導(dǎo)，得y′=x，所以y′|_x=-2=-1，所以直線l′的方程為y-1=-1×（x+2），即x+y+1=0，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，所以直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為S=×|-1|×|-1|=．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-=0得（x-m）²+（y+1）²=，其圓心坐標(biāo)為（m，-1），半徑r=，
要使直線l′與圓x²-2mx+y²+2y+m²-=0恒有公共點，則需滿足（m，-1）到直線l′：x+y+1=0的距離d≤，即d=≤，得-≤m≤，
即m的取值范圍為[-，]．
分析：（1）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，因為橢圓經(jīng)過兩點M（1，），N（-，），所以可得
由①與②消去m可得n=，由此能求出拋物線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由得y²+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合題意，舍去），當(dāng)y=1時，得x=±2，因為x_A＜x_B，所以A（-2，1），對y=x²求導(dǎo)，得y′=x，所以直線l′的方程為x+y+1=0，由此能求出直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．
（3）由x²-2mx+y²+2y+m²-=0得（x-m）²+（y+1）²=，其圓心坐標(biāo)為（m，-1），半徑r=，要使直線l′與圓x²-2mx+y²+2y+m²-=0恒有公共點，則需滿足（m，-1）到直線l′：x+y+1=0的距離d≤，由此能求出m的取值范圍．
點評：本題考查直線 與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用，具有一定的難度，解題時要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．