Question

已知a＞0，f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，g（x）=-ax+1，x∈R．
（1）當(dāng) a=1時，求 f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若在區(qū)間（0，

1

2

]上至少有一個實數(shù)x₀，使 f（x₀）＞g（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)值即曲線上過該點的切線的斜率求出斜率，后由點斜式寫出切線方程；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=

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3

a²x³-ax²+ax-

1

3

x∈（0，

1

2

]，由題意可得，只要F（x）_max＞0即可，列出不等式求得a的范圍．

解答： 解：（1）a=1，f（x）=

1

3

x³-x²+

2

3

∴f'（x）=x²-2x
∴f'（1）=1-2=-1，f（1）=

1

3

-1+

2

3

=0
因此由點斜式得切線：y=-（x-1）=-x+1．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a²x³-ax²+ax-

1

3

x∈（0，

1

2

]．
對F（x）求導(dǎo)，得F'（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x），
因為x∈（0，

1

2

]，a＞0，所以F'（x）=a²x²+a（1-2x）＞0，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，

1

2

]上為增函數(shù)，則F（x）max=F（

1

2

）．
依題意，只需F（x）_max＞0，即

1

3

a²×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0，
即a²+6a-8＞0，解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）．
所以正實數(shù)a的取值范圍是（-3+

17

，+∞）．

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握不等式成立時所取的條件，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題解決，考查構(gòu)造函數(shù)法思想的運用．屬難題．