Question

（1）證明：sinx+siny=2sin

x+y

2

cos

x-y

2

（2）三角形ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，若a，b，c成等差數(shù)列，求證：tan

A

2

tan

C

2

≥tan²

B

2

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）sinx+siny=sin(

x+y

2

+

x-y

2

)+sin(

x+y

2

-

x-y

2

)，利用兩角和差的正弦公式展開即可得出．
（2）由a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，利用（1）可化為tan

A

2

tan

C

2

=

1

3

．由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

．可得tan2

B

2

≤

1

3

，即可得出．

解答： 證明：（1）sinx+siny=sin(

x+y

2

+

x-y

2

)+sin(

x+y

2

-

x-y

2

)=2sin

x+y

2

cos

x-y

2

．
（2）∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，
又由（1）可知2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sin（A+C）=4sin

A+C

2

cos

A+C

2

，
∴cos

A

2

cos

C

2

=3sin

A

2

sin

C

2

，
∴tan

A

2

tan

C

2

=

1

3

．
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

．
∴0＜B≤

π

3

，
∴tan2

B

2

≤

1

3

，
∴tan

A

2

tan

C

2

≥tan2

B

2

．

點評：本題綜合考查了兩角和差的正弦公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形的內(nèi)角和定理、誘導公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．