【題目】設(shè)橢圓()的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計算A的坐標，計算切線與橢圓交點坐標，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可。

(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，

∴橢圓的方程可設(shè)為.

易求得，∴點在橢圓上，∴，

解得，∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，

，∴.

當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為，，

∴，即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得，

∴，得.

∵，

∴，

，

∴.

綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，都有.

在中，由與相似得，為定值.

練習冊系列答案
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【題目】某物流公司欲將一批海產(chǎn)品從A地運往B地，現(xiàn)有汽車、火車、飛機三種運輸工具可供選擇，這三種工具的主要參考數(shù)據(jù)如下：

運輸工具

途中速度（）

途中費用（元/）

裝卸時間（）

裝卸費用（元/）

汽車

50

80

2

200

火車

100

40

3

400

飛機

200

200

3

800

若這批海產(chǎn)品在運輸過程中的損耗為300元/，問采用哪種運輸方式比較好，即運輸過程中的費用與損耗之和最小.

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【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖)．

1.47

20.6

0.78

2.35

0.81

-19.3

16.2

表中．

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨立的.

(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;

(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得萬元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得利潤萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號．某生產(chǎn)企業(yè)積極響應號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：

試銷單價（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量（件）

84

83

80

75

68

已知．

（1）求出的值；

（2）已知變量具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（件）關(guān)于試銷單價（元）的線性回歸方程；可供選擇的數(shù)據(jù)：，；

（3）用表示用（2）中所求的線性回歸方程得到的與對應的產(chǎn)品銷量的估計值．當銷售數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取3個，求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學期望．

（參考公式：線性回歸方程中的最小二乘估計分別為，）

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【題目】函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為的圖象與x軸的交點，且為等邊三角形.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍后，再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

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（Ⅱ）若的“陪伴數(shù)列”是.試證明： 成等差數(shù)列.

（Ⅲ）若為偶數(shù)，且的“陪伴數(shù)列”是，證明： .

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（2）設(shè)N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個值．

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