Question

5．設0＜a＜1，若對任意的x∈[a，2a]，都有y∈[$\frac{a}{2}$，2a]滿足方程log_ay-log_ax=1，則實數a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 先由方程log_ay-log_ax=1，解出y=ax，轉化為函數的值域問題求解．

解答 解：∵方程log_ay-log_ax=1，∴y=ax，
∵0＜a＜1，若對任意的x∈[a，2a]，都有y∈[$\frac{a}{2}$，2a]
y=f（x）在區(qū)間[a，2a]單調增函數；a≤x≤2a
可得a²≤ax≤2a²，y∈[$\frac{a}{2}$，2a]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}≥\frac{a}{2}\\ 2{a}^{2}≤2a\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$解得：$\frac{1}{2}≤a＜1$．
故答案為：[$\frac{1}{2}，1$）．

點評 本題考查對數式的運算、反比例函數的值域、集合的關系等問題，難度不大．注意函數和方程思想的應用．