Question

16．如圖，點(diǎn)A（2，0）是一定點(diǎn)，定圓的方程是x²+y²=4，在定圓上取兩點(diǎn)B、C，使得∠BAC=$\frac{π}{3}$，求△ABC的垂心G的軌跡方程．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合圖形進(jìn)行分析，這里牽涉到角的運(yùn)算，所以可把圓的方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程進(jìn)行運(yùn)算．

解答 解：當(dāng)三角形的外心O為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，垂心H（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃）．
本題中，因?yàn)椤螧AC=$\frac{π}{3}$，所以∠BOC=$\frac{2π}{3}$，
故設(shè)B（2cosθ，2sinθ），C（2cos（θ+$\frac{2π}{3}$），2sin（θ+$\frac{2π}{3}$）），垂心H（x，y），所以，
x=2+2cosθ+2cos（θ+$\frac{2π}{3}$），即x-2=2[cosθ+cos（θ+$\frac{2π}{3}$）]，-----①
y=2sinθ+2sin（θ+$\frac{2π}{3}$），即y=2[sinθ+sin（θ+$\frac{2π}{3}$）]，---------②
①②兩式平方相加得，（x-2）²+y²=4[1+1+2cos$\frac{2π}{3}$]=4，
即垂心H的軌跡方程為：（x-2）²+y²=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求軌跡方程，解決與平面幾何有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，要充分考慮到圖形的幾何性質(zhì)，這樣會(huì)使問(wèn)題的解決簡(jiǎn)便些．