Question

【題目】如圖，已知橢圓：（）的離心率為，并以拋物線：的焦點(diǎn)為上焦點(diǎn).直線：（）交拋物線于，兩點(diǎn)，分別以，為切點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)，又點(diǎn)恰好在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最大值；

（3）求證：點(diǎn)恒在的外接圓內(nèi).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由條件有，即，由離心率可得，然后可求出，得到橢圓方程.
(2) 設(shè)，,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，：求出直線的方程，同理可得：，可得到，根據(jù)點(diǎn)在橢圓，得到，利用均值不等式可到答案.
(3) 因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以可設(shè)的外接圓方程為,將，坐標(biāo)代入圓的方程，求出，將點(diǎn)代入外接圓方程可得，從而可證.

（1）解：由已知得，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，由直線：（）與拋物線：方程聯(lián)立可得，

所以

因?yàn)?/span>，所以：，即：，

同理可得：，

由直線的方程與直線的方程聯(lián)立有，可得

將代入直線可得

所以，即，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

即.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值.

（3）證法：因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以可設(shè)的外接圓方程為，

由已知可得

故

，

所以，

將點(diǎn)代入外接圓方程可得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以點(diǎn)恒在的外接圓內(nèi).

證法二：設(shè)的外心為，

由已知可得的中垂線為，即，

同理的中垂線為，

聯(lián)立可得

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以，

所以點(diǎn)恒在的外接圓內(nèi).