Question

某村莊似修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V平方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．

(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；

(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．

Answer 1

(1)因?yàn)樾钏�池�?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr²元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr²)元，又據(jù)題意200πrh＋160πr²＝12 000π，所以h＝(300－4r²)，從而

V(r)＝πr²h＝(300r－4r²)．

因r>0，又由h>0可得r<5，

故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)．

(2)因V(r)＝(300r－4r³)，故V′(r)＝(300－12r²)，令V′(r)＝0，解得r₁＝5.r₂＝－5(因r₂＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)．

當(dāng)r∈(0,5)時(shí)，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；

當(dāng)r∈(5,5)時(shí)，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)．

由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8，

即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大．