Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-6x+5
（1）求函數(shù)的極值
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)極值；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=a有三個不同的根，即函數(shù)y=a與y=f（x）的圖象有三個交點，由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，根據(jù)函數(shù)圖象的變化情況，可求得實數(shù)a的值．

解答：解：（1）f′（x）=3（x2-2），令f′（x）=0，得x=-

2

或

2

，
當(dāng) x＜-

2

或x＞

2

時，f′（x）＞0，當(dāng)-

2

＜x＜

2

時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 （-∞，-

2

）和（

2

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是 （-

2

，

2

），
當(dāng) x=-

2

時，f（x）有極大值5+4

2

；當(dāng) x=

2

時，f（x）有極小值5-4

2

，
（2）由（1）可作出y=f（x）圖象的大致形狀，如下圖所示：

由圖象知：當(dāng) 5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點，即方程f（x）=a有三個不同的根．
故實數(shù)a的取值范圍為：（5-4

2

，5+4

2

）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合題，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．屬中檔題．