Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[

1

2

，1）上的最大值為

3

8

，求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)求得函數(shù)f（x）的最大值，令其為

3

8

即可解得；
（Ⅱ）由g（x）≥-x²+（a+2）x分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用導數(shù)可求最值；

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x，
令f′（x）=0，得x=0或

2

3

．
列表如下：

f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	f（ 1 2 ）	↓	極小值	↑	極大值	↓

由f（

1

2

）=

3

8

+b，f（

2

3

）=

4

27

+b，
∴f（

1

2

）＞f（

2

3

），即最大值為f（

1

2

）=

3

8

+b=

3

8

，
∴b=0．        
（Ⅱ）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即a≤(

x2-2x

x-lnx

)min．     
令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，求導得，t′（x）=

(x-1)(x+2-lnx)

(x-lnx)2

，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析解決問題的能力．