Question

【題目】已知函數(shù) (x>0)，設(shè)fn(x)為fn－1(x)的導(dǎo)數(shù)，n∈N*.

(1)求的值；

(2)證明：對(duì)任意的n∈N*，等式都成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件和結(jié)論先將原函數(shù)化為： 然后兩邊求導(dǎo)后根據(jù)條件兩邊再求導(dǎo)得： ，把 代入式子求值；
（2）由（1）得， 和，利用相同的方法再對(duì)所得的式子兩邊再求導(dǎo)，并利用誘導(dǎo)公式對(duì)所得式子進(jìn)行化簡(jiǎn)、歸納，再進(jìn)行猜想得到等式，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立.

試題解析：(1)解　由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋，

故2f1＋f2＝－1.

(2)證明　由已知，得xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x，即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin，類似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，

3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)

＝sin對(duì)所有的n∈N*都成立.

(ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，由上可知等式成立.

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，

即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.

因?yàn)閇kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，

′＝cos·′＝sin，

所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.

因此當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.

綜合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)

＝sin對(duì)所有的n∈N*都成立.

令x＝，可得nfn－1＋fn

＝sin (n∈N*).

所以＝ (n∈N*).