Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=θ，AB=4，D為線段AB的中點(diǎn)．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B-AO-C的大小為．
（Ⅰ） 當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；
（Ⅱ） 當(dāng)∈[，θ]時(shí)，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立間直角坐標(biāo)系O-xyz，，由求出平面COD的一個(gè)法向量，又平面AOB的一個(gè)法向量為=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得•=0，求出θ的值．
（II）由（Ⅰ）得當(dāng)θ=時(shí)，cosα=0；當(dāng)θ∈（，]時(shí)，tanθ≤-，利用向量的數(shù)量積公式將cosα用θ的三角函數(shù)表示，據(jù)tanθ≤-，求出cosα的范圍．
解答：解：（Ⅰ） 如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A （0，0，2），B （0，2，0），
D （0，1，），C （2sinθ，2cosθ，0）．
設(shè)=（x，y，z）為，
由得
取z=sinθ，
則=（cosθ，-sinθ，sinθ）．
因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得•=0，
所以cosθ=0，即θ=． …（6分）
（Ⅱ） 設(shè)二面角C-OD-B的大小為α，
由（Ⅰ）得當(dāng)θ=時(shí)，cosα=0；
當(dāng)θ∈（，]時(shí)，
tanθ≤-，
cosα===-，
故-≤cosα＜0．
綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-，0]．  …（13分）
點(diǎn)評(píng)：解決二面角的大小問題，一般借助的工具是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量所成的角的問題，通過向量的數(shù)量積來解決．