Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線為直線l，動直線y=kx+m（k＜0，m＞0）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點(diǎn)，如圖．若A，B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)時，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為

1

e

（其中e為橢圓的離心率），且OQ=

5

OM．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果OP是OM，OQ的等比中項，那么

m

k

是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

b

a

=

1 e

a2 c

，2a=

5

c．由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把y=kx+m，（k＜0，m＞0），代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²+10mkx+5m²-5=0，由此利用已知條件能求出

m

k

為常數(shù)-2．

解答： 解：（1）橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線為直線l，
動直線y=kx+m（k＜0，m＞0）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
當(dāng)A，B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)時，
則A（a，0），B（0，b），M（

a

2

，

b

2

）．
∵線段AB的中點(diǎn)為M，
射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點(diǎn)，
∴Q（

a2

c

，

1

e

），由O，M，Q三點(diǎn)共線，
得

b

a

=

1 e

a2 c

，化簡，得b=1．…（2分）
∵OQ=

5

OM，∴

a2 c

a 2

=

5

，化簡，得2a=

5

c．
由

a2=b2+c2 b=1 2a= 5 c

，解得a²=5，c²=4，…（4分）
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

5

+y2=1．…（6分）
（2）把y=kx+m，（k＜0，m＞0），代入

x2

5

+y2=1，得
（5k²+1）x²+10mkx+5m²-5=0．…（8分）
當(dāng)△＞0，5k²-m²+1＞0時，xM=-

5mk

5k2+1

，y_M=

m

5k2+1

，
從而點(diǎn)M（-

5mk

5k2+1

，

m

5k2+1

）．…（10分）
∴直線OM的方程y=-

1

5k

x．
由

y=- 1 5k x x2 5 +y2=1

，得xP2=

25k2

5k2+1

．  …（12分）
∵OP是OM，OQ的等比中項，∴OP²=OM•OQ，
從而xP2 =|x_M|x_Q=-

25mk

2(5k2+1)

．…（14分）
由

25k2

5k2+1

=-

25mk

2(5k2+1)

，得m=-2k，從而

m

k

=-2，滿足△＞0． …（15分）
∴

m

k

為常數(shù)-2．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足等比中項的常數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等比中項、橢圓、直線方程等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．