Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-2		4		-2		4

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心；
（3）若當(dāng)x∈[0，

7π

6

]時(shí)，方程f（x）=m+1恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由最值求出A、B的值，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．令x-

π

3

=kπ(k∈Z)，求得x的值，可得對(duì)稱中心，的坐標(biāo)．
（3）方程f（x）=m+1可化為m=3sin(x-

π

3

)，由x∈[0，

7π

6

]，利用正弦函數(shù)的定義域餓值域求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）的最小正周期為T，得T=

11π

6

-(-

π

6

)=2π，再由T=

2π

ω

，得ω=1．
又

B+A=4 B-A=-2

，解得

A=3 B=1

．
令ω•

5π

6

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，即

5π

6

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，解得φ=-

π

3

，
所以f(x)=3sin(x-

π

3

)+1．
（2）令2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得 2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，
故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈z．
令x-

π

3

=kπ(k∈Z)，得x=kπ+

π

3

(k∈Z)，
所以函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（kπ+

π

3

，1）．
（3）方程f（x）=m+1可化為m=3sin(x-

π

3

)．
因?yàn)閤∈[0，

7π

6

]，所以 x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

6

]，∴sin（ x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
由正弦函數(shù)圖象可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-

3 3

2

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．