Question

設函數(shù)f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）求證：當a=-

1

2

時，不等式lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=-

1

2

時，根據(jù)f（x）=

-2x+2  ，x＜- 1 2 3  ， - 1 2 ≤x＜ 5 2 2x-2  ， x≥ 5 2

的最小值為3，可得lnf（x）最小值為ln3＞lne=1，不等式得證．
（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得 f（x）≥|a-

5

2

|，可得|a-

5

2

|≥a，由此解得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵當a=-

1

2

時，f（x）=|x-

5

2

|+|x+

1

2

|=

-2x+2  ，x＜- 1 2 3  ， - 1 2 ≤x＜ 5 2 2x-2  ， x≥ 5 2

 的最小值為3，
∴l(xiāng)nf（x）最小值為ln3＞lne=1，∴l(xiāng)nf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得 f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|≥|（x-

5

2

）-（x-a）|=|a-

5

2

|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a-

5

2

|≥a，
∴a-

5

2

≥a，或 a-

5

2

≤-a，解得a≤

5

4

，故a的最大值為

5

4

．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學思想，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎題．