Question

已知A={x|x²+x-12=0}，B={x|x²-2ax+b=0}，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a、b，使A∩B=B，若存在，求出a，b的值或a，b滿(mǎn)足的關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：∵A={x|x²+x-12=0}，
∴A={3，-4}，B={x|x²-2ax+b=0}，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a、b，使A∩B=B，
若B=∅，說(shuō)明方程x²-2ax+b=0無(wú)解，可得△=（-2a）²-4b=4a²-4b＜0，
若B≠∅，說(shuō)明方程x²-2ax+b=0有解，
當(dāng)△=4a²-4b=0①，方程只有一個(gè)根，當(dāng)這個(gè)根為3，可得3²-6a+b=0②，
聯(lián)立方程①②解得a=3，b=9；
當(dāng)這個(gè)根為-4時(shí)，可得（-4）²-6a+b=0③，
聯(lián)立①③解得a無(wú)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)△＞0，說(shuō)明方程有兩個(gè)根分別為3和-4，可得，
解得，
綜上：存在實(shí)數(shù)a、b，使A∩B=B，需要滿(mǎn)足：a=3，b=9；或者a=-，b=-12或者a²-b＜0；
分析：因?yàn)锳={x|x²+x-12=0}，求出集合A，B={x|x²-2ax+b=0}，存在實(shí)數(shù)a、b，使A∩B=B，說(shuō)明B=∅，或者B⊆A，利用此信息進(jìn)行求解；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題以及集合交集的定義，此題是一道基礎(chǔ)題，解題的過(guò)程中用到了分類(lèi)討論的思想，這也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題；