Question

【題目】如圖，某市園林局準(zhǔn)備綠化一塊直徑為的半圓空地，以外的地方種草，的內(nèi)接正方形為一水池，其余的地方種花，若為定值），，設(shè)的面積為，正方形的面積為

(1)用表示；

(2)當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最大值為，此時(shí).

【解析】試題分析：（1）在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=α，由AB=acosα，AC=asinα，能求出S1；設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x，則BP=，AP=xcosα，由BP+AP= ，AB=acosα，AP+BP=AB，能求出S2．

（2）=，令sin2α=t，推導(dǎo)出=，0＜t≤1，設(shè)f（t）=（0＜t≤1），推導(dǎo)出f（t）=在（0，1]上單調(diào)遞減，由此能求出的最大值及相應(yīng)的α．

試題解析：

（1）在中，，

所以

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則

由 又

所以

令，由得，所以

設(shè)，任取，

則

在上單調(diào)減，所以，

所以

所以的最大值為，此時(shí)