Question

已知點(diǎn)直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且.
(1)求點(diǎn)M的軌跡的方程；
(2)過定點(diǎn)（0,1）作直線PQ與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，且，求直線PQ的方程.

Answer 1

(1)； (2).

試題分析：(1)先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式求出和，代入已知條件中，化簡整理得，限制條件一定要有；(2)分直線的斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程及與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程由方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得，，代入、兩點(diǎn)間的距離公式并化簡，結(jié)合已知條件求得的值，代入所設(shè)的直線方程即可.
試題解析：(1)解：設(shè)，             ..1分
則，，          .3分
∴，                           .4分
∴.                  .6分 (條件1分)
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即是橢圓的長軸，其長為，顯然不合，
所以直線的斜率存在，                  7分
設(shè)直線的方程是，，，
則，            .8分
聯(lián)立，消去得，          9分
∵，∴，         ..10分
∴，，           .11分
∴
，             ..12分
∴，∴，即，          .13分
所以直線PQ的方程是.            ..14分