Question

【題目】如圖，直三棱柱中，且，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角為，若存在，求的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】【試題分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，利用三角形中位線證得四邊形為平行四邊形，由此證得線面平行.（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，結(jié)合它們所成銳二面角的余弦值，可求得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

【試題解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則∥且.

因?yàn)楫?dāng)為中點(diǎn)時(shí)，∥且，

所以∥且 .

所以四邊形為平行四邊形，∥，

又因?yàn)?/span>，，

所以平面；

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè).

以為原點(diǎn)，向量方向?yàn)?/span>軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，平面的法向量，

平面的法向量，，

解得，所以存在滿足條件的點(diǎn)，此時(shí).