Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A、函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，4]
• B、關(guān)于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
• C、當(dāng)x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為3
• D、不存在實(shí)數(shù)x₀，使不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由分段函數(shù)，求出1≤x≤2，2≤x≤4，4≤x≤8函數(shù)的表達(dá)式，畫出草圖，通過(guò)圖象可知函數(shù)的值域?yàn)閇0，4]，
可判斷A；當(dāng)n=1時(shí)，f（x）-

1

2

=0有7個(gè)不相等的實(shí)根，可判斷B；當(dāng)x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*），時(shí)，函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)為2^3-n，可求出與x軸圍成的面積可判斷C；函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)都在曲線y=

6

x

（x＞0）上，可判斷D．

解答： 解：當(dāng)1≤x≤

3

2

時(shí)，f（x）=8x-8；

3

2

≤x≤2時(shí)，f（x）=16-8x；
設(shè)2≤x≤3，則1≤

x

2

≤

3

2

，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=2x-4；
3≤x≤4，則

3

2

≤

x

2

≤2，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=8-2x；
4≤x≤6，則2≤

x

2

≤3，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=

x

2

-2；
6≤x≤8，則3≤

x

2

≤4，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=4-

x

2

．
畫出草圖，
知函數(shù)的值域?yàn)閇0，4]，
故A錯(cuò)；
當(dāng)n=1時(shí)，f（x）-

1

2

=0在[1，8]上有6個(gè)不相等的實(shí)根，[8，16]上只有一個(gè)實(shí)根，以后再?zèng)]有了，
共有7個(gè)不相等的實(shí)根，
故B錯(cuò)；
函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)為以4為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
故當(dāng)x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N*），時(shí)，函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)為2^3-n，與x軸圍成的面積為

1

2

×2^3-n×2^n-1=2．故C錯(cuò)；
函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)都在曲線y=

6

x

（x＞0）上，故D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的表達(dá)式和值域，等比數(shù)列的通項(xiàng)及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的能力，判斷能力，屬于中檔題．