Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，且A₁A=4．梯形ABCD的面積為6，且AD∥BC，AD=2BC，AB=2．平面A₁DCE與B₁B交于點E．
（1）證明：EC∥A₁D；
（2）求點C到平面ABB₁A₁的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明BE∥平面AA₁D．BC∥平面AA₁D，然后證明平面BCE∥平面ADA₁，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理證明：EC∥A₁D；
（2）法一：直接利用等體積方法，VC-A1AB=VA1-ABC，即可求點C到平面ABB₁A₁的距離．
法二：證明CF⊥面A₁ABB₁，即線段CF的長為點C到平面ABB₁A₁的距離．利用S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2又S△ABC=

1

2

AB•CF，求出CF=2，即點C到平面ABB₁A₁的距離為2．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：因為BE∥AA₁，AA₁?平面AA₁D，BE?平面AA₁D，所以BE∥平面AA₁D．（1分）
因為BC∥AD，AD?平面AA₁D，BC?平面AA₁D，所以BC∥平面AA₁D．（2分）
又BE∩BC=B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA₁．（4分）
又平面A₁DCE∩平面BCE=EC，平面A₁DCE∩平面A₁AD=A₁D，
所以EC∥A₁D．（6分）
（2）解法一：因為S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，
所以S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2．（9分）
因為A₁A⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，所以A₁A⊥AB．
所以S△A1AB=

1

2

A1A•AB=4．（10分）
設(shè)點C到平面ABB₁A₁的距離為h，因為VC-A1AB=VA1-ABC，（12分）
所以

1

3

h•S△A1AB=

1

3

A1A•S△ABC，（13分）
所以h=2，即點C到平面ABB₁A₁的距離為2．（14分）
解法二：如圖，在平面ABC中，作CF⊥AB于F．（7分）
因為A₁A⊥底面ABCD，CF?底面ABCD，
所以CF⊥A₁A．（8分）
又A₁A∩AB=A，所以CF⊥面A₁ABB₁．（9分）
即線段CF的長為點C到平面ABB₁A₁的距離．
因為S_梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，
所以S△ABC=

1

2

S△ACD=

1

3

S梯形ABCD=2（12分）
又S△ABC=

1

2

AB•CF，（13分）
所以CF=2，即點C到平面ABB₁A₁的距離為2．（14分）

點評：本題考查平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，點到平面的距離的求法，考查計算能力以及空間想象能力．