Question

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)）與C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求曲線C和直線l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入ρsin²θ=2acosθ，由

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去參數(shù)t可得所求；（2）將

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

代入y²=2ax并整理可得t得二次方程，由韋達(dá)定理可得t₁+t₂和t₁•t₂的值，由等比中項(xiàng)可得|MN|²=|PM|•|PN|，整體代入可得a得方程，解方程可得．

解答： 解：（1）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入ρsin²θ=2acosθ（a＞0）得y²=2ax，（a＞0），
由l：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去參數(shù)t可得x-y-2=0，
∴曲線C和直線l的普通方程分別是y²=2ax，（a＞0），x-y-2=0；
（2）將

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

代入y²=2ax并整理可得t²-2

2

（4+a）t+8（4+a）=0，
由韋達(dá)定理可得t₁+t₂=2

2

（4+a），t₁•t₂=8（4+a），
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|MN|²=|PM|•|PN|，
∴（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=t₁•t₂，
∴8（4+a）²-4×8（4+a）=8（4+a），解得a=1

點(diǎn)評：本題考查直線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，屬基礎(chǔ)題．