在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，AC，BD的中點(diǎn)．(1)證明：平面EHG⊥平面GHF；(2)求二面角E－FG－H的余弦值．

答案：
解析：

解   (1)連結(jié)AF，DF．∵ABCD是正四面體，∴AF⊥BC，DF⊥BC，于是BC⊥平面ADF，∴BC⊥AD．同理AC⊥BD．取AD的中點(diǎn)K，連GK，HK，則KH＝HF＝FG＝GK，又KH∥AB，HF∥CD，∴KH⊥HF，于是KHFG是正方形，設(shè)O是HG與KF的交點(diǎn)，則O是HG和KF的中點(diǎn)．由EG＝EH＝BC得EO⊥HG，同理EO⊥KF，∴OE⊥平面KHFG，OE平面EHG，∴平面EHG⊥平面GHF．

　　(2)設(shè)棱長(zhǎng)為a，△EFG是邊長(zhǎng)為的正三角形，取GF的中點(diǎn)M，則EM⊥GF，又OM⊥GF，∴∠EMO是二面角E－FG－H的平面角，EM＝∠EOM＝，∴cos∠EMO＝．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正四面體ABCD中，E、F分別是BC、AD中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成的角是
 
．（用反三角值表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知有關(guān)正三角形的一個(gè)結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC內(nèi)切圓的圓心，則
AG
GD
=2”．若把該結(jié)論推廣到正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），則有結(jié)論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內(nèi)切球的球心，則
AO
OM
=
3
3
”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某同學(xué)使用類比推理得到如下結(jié)論：
（1）同一平面內(nèi)，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b，類比出：空間中，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0則a＞b，類比出：a，b∈C，a-b＞0則a＞b；
（3）以點(diǎn)（0，0）為圓心，r為半徑的圓的方程是x2+y2=r2，類比出：以點(diǎn)（0，0，0）為球心，r為半徑的球的方程是x2+y2+z2=r2；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中點(diǎn)，O是△ABC外接圓的圓心，則
AO
OM
=2，類比出：在正四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點(diǎn)，O為四面體ABCD外接球的球心，則
AO
OM
=3．
其中類比的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正四面體ABCD中，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE所成角的大小為
arccos
3
6
arccos
3
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成角的余弦值是
 
．

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