Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c經過點（1，0）和（0，-3），若f（x+2）=f（2-x）
求（1）f（x）的解析式；
（2）當x取何值時f（x+1）＞0．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的對稱軸，以及二次函數(shù)經過的點，列出方程組，求出a、b、c的值即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質，當開口向下時，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，即x＞1；然后利用拋物線與x軸的交點問題求出拋物線與x軸的交點坐標，再找出函數(shù)圖象在x軸上方所對應的自變量的取值范圍即可．

解答 解：（1）f（x+2）=f（2-x）可知二次函數(shù)的對稱軸為x=2．
二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c經過點（1，0）和（0，-3），
可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{-2a}=2\\ a+b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$
解得a=-1，b=4，c=-3
所以二次函數(shù)解析式為：f（x）=-x²+4x-3；
（2）由f（x+1）＞0，可得-（x+1）²+4x+4-3＞0，
即：x²-2x＜0．
解得x∈（0，2）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質．