Question

2．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0），判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析 可以看出x增大時，$-\frac{1}{x}$增大，從而f（x）增大，從而得出該函數(shù)在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增．根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＜x₂＜0，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增．

解答 解：x增大時，$\frac{1}{x}$減小，$-\frac{1}{x}$增大，f（x）增大，∴f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂＜0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＜x₂＜0；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分．