Question

5．在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃，
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=（-1）ⁿb_n+a_n，求數(shù)列{c_n}的前項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過b₁=a₁=3可知b₄=a₂=3q、b₁₃=a₃=3q²，利用數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列計算可知q=3，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，通過b_2k-1+b_2k=-（4k-1）+（4k+1）=2分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（1）依題意，b₁=a₁=3，
b₄=a₂=3q，b₁₃=a₃=3q²，
又∵數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴4（b₃-b₁）=b₁₃-b₁，
即4（3q-3）=3q²-3，
化簡得：q²-4q+3=0，
解得：q=3或q=1（舍），
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3ⁿ，
∴公差d=$\frac{_{4}-_{1}}{4-1}$=$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{3}$=$\frac{9-3}{3}$=2，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由（1）可知c_n=（-1）ⁿb_n+a_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，
∵b_2k-1+b_2k=-（4k-1）+（4k+1）=2，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=n-1-（2n+1）+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=-n+$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{7}{2}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=n+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=n+$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$；
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-n+\frac{1}{2}•{3}^{n+1}-\frac{7}{2}，}&{n為奇數(shù)}\\{n+\frac{1}{2}•{3}^{n+1}-\frac{3}{2}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．