Question

在數(shù)列中，，若函數(shù)，在點(diǎn)處切線過(guò)點(diǎn)
(1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再求切線方程，將點(diǎn)代入得數(shù)列的遞推式，進(jìn)而利用等比數(shù)列定義證明之；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵考察通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的不同形式，選擇相應(yīng)的求和方法，一般情況下有①裂項(xiàng)相消法；②錯(cuò)位相減法；③分組求和法；④奇偶并項(xiàng)求和法，由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可利用分組求和法求和.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031727560622.png" style="vertical-align:middle;" />，所以切線的斜率為，切點(diǎn)，切線方程為，∴，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即①，，∴，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且公比.
（2）由（1）得是公比為，且首項(xiàng)為的等比數(shù)列，則，故，所以.