【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, ,點為的中點.
(1)證明: ;
(2)設(shè)點在線段上,且平面,若平面平面,求二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ).
【解析】試題分析:
(1)要證明線線垂直,可先證明線面垂直,由是中點,可知,又由是銳角為的菱形,可得,從而有線面垂直,再得線線垂直;
(2)與平面平行,則與平面內(nèi)一條直線平行,由平面平面可得兩兩垂直,以它們?yōu)檩S可建立空間直角坐標系,寫出各點坐標,求出二面角兩個面的法向量,由法向量夾角可得二面角大小,其中在求平面法向量時,平面的一條直線的方向向量可用代替.
試題解析:
(1)連接,
因為, 所以為正三角形,又點為的中點,
所以.
又因為, 為的中點,所以.
又,
所以平面,
又平面,所以.
(2)連接交于,連接.
因為平面, 平面,平面平面,
所以,
由(1)知.
又平面平面,交線,
所以平面,
以為坐標原點,分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則, ,
設(shè)平面的一個法向量為,
可得
因為,所以 得 ,
由(Ⅰ)知平面,則取平面的一個法向量
,
故二面角的大小為.
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【題目】如圖,在平行四邊形OABC中,點C(1,3).
(1)求OC所在直線的斜率;
(2)過點C作CD⊥AB于點D,求CD所在直線的方程.
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【題目】某學校的平面示意圖為如下圖五邊形區(qū)域,其中三角形區(qū)域為生活區(qū),四邊形區(qū)域為教學區(qū), 為學校的主要道路(不考慮寬度). .
(1)求道路的長度;(2)求生活區(qū)面積的最大值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4,圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(不同于點),直線的斜率分別為.
(1)求橢圓的方程;
(2)當變化時,①求的值;②試問直線是否過某個定點?若是,求出該定點;若不是,請說明理由.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.經(jīng)過空間內(nèi)的三個點有且只有一個平面
B.如果直線l上有一個點不在平面α內(nèi),那么直線上所有點都不在平面α內(nèi)
C.四棱錐的四個側(cè)面可能都是直角三角形
D.用一個平面截棱錐,得到的幾何體一定是一個棱錐和一個棱臺
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【題目】在平面直角坐標系中,動點P(x,y)到兩條坐標軸的距離之和等于它到點(1,1)的距離,記點P的軌跡為曲線W,給出下列四個結(jié)論: ①曲線W關(guān)于原點對稱;
②曲線W關(guān)于直線y=x對稱;
③曲線W與x軸非負半軸,y軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于 ;
④曲線W上的點到原點距離的最小值為2﹣
其中,所有正確結(jié)論的序號是 .
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【題目】在R上定義運算:ab=ab+2a+b,則滿足x(x﹣2)<0的實數(shù)x的取值范圍為( )
A.(0,2)
B.(﹣2,1)
C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
D.(﹣1,2)
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【題目】已知在函數(shù) 的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直.
(1)求a的值和切線l的方程;
(2)設(shè)曲線y=f(x)在任一點處的切線傾斜角為α,求α的取值范圍.
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