求由拋物線與它在點和點的切線所圍成的區(qū)域的面積。

已知中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓過點，且它的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）與圓相切的直線交橢圓于兩點，若橢圓上一點滿足，求實數(shù)的取值范圍.

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點M、N.

（1）設(shè)直線AP、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁·k₂為定值；
（2）求線段MN長的最小值；
（3）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？請證明你的結(jié)論．

直角坐標平面上，為原點，為動點，，. 過點作軸于，過作軸于點，. 記點的軌跡為曲線，
點、，過點作直線交曲線于兩個不同的點、（點在與之間）.
（1）求曲線的方程；
（2）是否存在直線，使得，并說明理由.

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個點，度量點的坐標，如圖．

（Ⅰ）拖動點，發(fā)現(xiàn)當時，，試求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點、，構(gòu)造直線、分別交準線于、兩點，構(gòu)造直線、．經(jīng)觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點，恒有.請你證明這一結(jié)論．
（Ⅲ）為進一步研究該拋物線的性質(zhì)，某同學(xué)進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點”改變?yōu)槠渌�“定點”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“與不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

已知點M是圓C：上的一點，且軸，為垂足，點滿足,記動點的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求面積S的最大值．

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于兩點，設(shè)為橢圓上一點，且滿足（其中為坐標原點），求整數(shù)的最大值．

已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，求雙曲線的方程及焦點坐標。

Δ兩個頂點的坐標分別是，邊所在直線的斜率之積等于，求頂點的軌跡方程，并畫出草圖。

方程的曲線是焦點在上的橢圓 ，求的取值范圍