如圖，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求點(diǎn)A₁到平面BDD₁的距離；
（3）當(dāng)

AE

=

1

2

EB

時(shí)，求二面角D₁-EC-D的余弦值．

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=xlnx-f（x）在定義域內(nèi)存在零點(diǎn)，求a的最大值．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取隨范圍．

某次素質(zhì)測試，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）估計(jì)成績的平均值；
（2）若成績排名前5的學(xué)生中，有一人是學(xué)生會(huì)主席，從這5人中推薦3人參加自主招生考試，試求這3人中含該學(xué)生會(huì)主席的概率．

已知矩形ABCD所在的平面和梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥FE，G、H分別為AB、CF的中點(diǎn)，AB=2，AD=EF=1，∠AFB=

π

2

．
（1）求證：GH∥平面DAF；
（2）AF⊥平面BFC；
（3）求平面CBF將幾何體EFABCD分成兩個(gè)錐體F-ABCD與F-BCE的體積之比．

如圖，A（

2

2

，

2

2

），B（-

2

2

，

2

2

），C（-

2

2

，-

2

2

），D（

2

2

，-

2

2

），從這4點(diǎn)中隨機(jī)取2點(diǎn)．
（1）求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）共線的概率；
（2）求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）恰好構(gòu)成直角三角形的概率．

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂=2，S₇=28，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）令c_n=3an（n∈N^*）抽去數(shù)列{c_n}的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、…、第3n項(xiàng)、…，余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{t_n}，求數(shù)列{t_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）交于兩點(diǎn)A，B．
（1）若△OAB的面積為

10

，求k的值；    
（2）已知O為原點(diǎn)，證明OA⊥OB．

如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）的部分圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和；
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）的圖象的周期擴(kuò)大為原來的兩倍，然后向右平移

2π

3

個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若對(duì)任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在區(qū)間[0，

5π

6

]上至多有一個(gè)解，求正數(shù)k的取值范圍．

已知橢圓C：

x2

25

+

y2

16

=1，直線l過點(diǎn)（4，0）且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若∠AOB=90°，求直線l的方程．

如圖，在△ABC中，∠B=

π

2

，AB=BC=2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為A′C的中點(diǎn)，求證：A′B⊥DE；
（Ⅱ）當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長．