在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿(mǎn)足AO⊥BO
（Ⅰ）求證直線A、B恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）
（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知f（α）=

cos( π 2 +α)•cos(2π-α)•sin(-α+ 3π 2 )

sin(-π-α)•sin( 3π 2 +α)

．
（1）化簡(jiǎn)f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（α-

3π

2

）=

1

5

，求f（α）的值．

當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，證明：

2x

π

x＜sinx＜x．

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k為負(fù)數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）寫(xiě)出f（x）在[-3，3]上的表達(dá)式．

2013年11月，青島發(fā)生輸油管道爆炸事故造成膠州灣局部污染．國(guó)家海洋局用分層抽樣的方法從國(guó)家環(huán)保專(zhuān)家、海洋生物專(zhuān)家、油氣專(zhuān)家三類(lèi)專(zhuān)家?guī)熘谐槿∪舾扇私M成研究小組赴泄油海域工作，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1（單位：人）
表一

	相關(guān)人員數(shù)	抽取人數(shù)
環(huán)保專(zhuān)家	24	X
海洋生物專(zhuān)家	48	y
油氣專(zhuān)家	72	6

表二

	重度污染	輕度污染	合計(jì)
身體健康	30	A	50
身體不健康	B	10	60
合計(jì)	C	D	E

海洋生物專(zhuān)家為了檢測(cè)該地受污染后對(duì)海洋動(dòng)物身體健康的影響，隨機(jī)選取了110只海豚進(jìn)行了檢測(cè)，并將有關(guān)數(shù)據(jù)整理為不完整的2×2列聯(lián)表，如表2．
（Ⅰ）求研究小組的總?cè)藬?shù)；
（Ⅱ）寫(xiě)出表2中A，B，C，D，E的值，并判斷有多大的把握認(rèn)為海豚身體不健康與受到污染有關(guān)；
（Ⅲ）若從研究小組的環(huán)保專(zhuān)家和海洋生物專(zhuān)家中隨機(jī)選2人撰寫(xiě)研究報(bào)告，求其中恰好有1人為環(huán)保專(zhuān)家的概率．附：①K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d②

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0），x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S（3，2

3

），賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
（2）設(shè)∠PMN=θ，試用θ表示賽道MNP的長(zhǎng)；            
（3）當(dāng)θ為何值時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)？

已知函數(shù)f（x）=

3-ax a-1

（a≠1）
（1）若a＞0，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知曲線Γ：y²=4x，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）且其一個(gè)方向向量為

d

=（1，k）．
（1）若曲線Γ的焦點(diǎn)F在直線l上，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）當(dāng)k=-1時(shí)，直線l與曲線Γ相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值；
（3）當(dāng)k（k＞0）變化且直線l與曲線Γ有公共點(diǎn)時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P（a，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q（x₀，y₀）落在曲線Γ的準(zhǔn)線上．若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是特稱(chēng)命題，并判斷其真假．
（1）至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；
（2）?x∈{x|x＞0}，x+

1

x

≥2；
（3）?x∈{x|x∈Z}，log₂x＞2．

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）求證炮發(fā)射的高度不會(huì)超過(guò)5千米；
（2）求炮的最大射程．