Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AO⊥BO
（Ⅰ）求證直線A、B恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）
（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出AB的方程，A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而把直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而利用拋物線方程求得y₁y₂=的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)AO⊥BO推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，即可求出結(jié)果；
（Ⅱ）S_△AOB=

1

2

•1•|x₁-x₂|=

1

2

k2+4

，即可求出最小值．

解答： （Ⅰ）證明：顯然直線AB的斜率存在，記為k，AB的方程記為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入y=x²得：x²-kx-b=0，則有：
△=k²+4b＞0①，x₁+x₂=k②，x₁x₂=-b③，
又y₁=x₁²，y₂=x₂²
∴y₁y₂=b²；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：-b+b²=0且b≠0，
∴b=1，
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）；
（II）解：S_△AOB=

1

2

•1•|x₁-x₂|=

1

2

k2+4

≥1
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，等號(hào)成立，
∴△AOB的面積存在最小值，存在時(shí)求得最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及到直線與圓錐線的問(wèn)題一般是聯(lián)立方程，設(shè)而不求，屬于中檔題．