已知橢圓的離心率，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。
 （1）求橢圓的方程；
 （2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且，求y₀的值。

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(+1)。一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂=1；
(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，點(diǎn)P(x₁，y₁)，Q(x₁，-y₁)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
(Ⅰ)求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
(Ⅱ)若過點(diǎn)H(0，h)(h＞1)的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l₁⊥l₂，求h的值。

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1。
 （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
 （2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB 為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

已知橢圓長軸端點(diǎn)為A、B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且，，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。

設(shè)橢圓C₁：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖，若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)。

如圖，在由圓O：x²+y²=1和橢圓C：構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為，直線l與圓O相切于點(diǎn)M，與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在直線l，使得，若存在，求此時(shí)直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知直線x+ky-3=0所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8，
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得弦長L的取值范圍．

已知橢圓C：的離心率為，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線l：y=kx-2與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0，1)，且|PA|=|PB|，求直線l的方程。