15．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)是P（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．圓C₂：x²+y²=4，l₁，l₂是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線(xiàn)，其中直線(xiàn)l₁交圓C₂于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l₂與橢圓C₁的另一交點(diǎn)為D．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求△ABD面積的最大值及取得最大值時(shí)直線(xiàn)l₁的方程．

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-$\sqrt{3}$，0），過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓與A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)AB垂直x軸時(shí)，|AB|=$\frac{a}{2}$．
（1）求該橢圓方程；
（2）若斜率存在且不為0的動(dòng)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為G，AB的垂直平分線(xiàn)與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)（如圖所示），記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂，求$\frac{{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$的取值范圍．

13．對(duì)定義域分別是D_f、D_g的函數(shù)y=f（x），y=g（x），
定義一個(gè)函數(shù)h（x）：h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）g（x），當(dāng)x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x），當(dāng)x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x），當(dāng)x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$
（1）若f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx（x≥0），g（x）=2cosx（x∈R），寫(xiě)出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）在（I）的條件下，若$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$時(shí)，h（x）-1-m≥0恒成立，求m的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），及一個(gè)α的值，使得h（x）=cos2x，并予以證明．

12．已知△ABC三頂點(diǎn)均在雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，三邊AB、BC、AC所在的直線(xiàn)的斜率均存在且均不為0，其和為-1；又AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為M、N、P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OM、ON、OP的斜率分別為k₁，k₂，k₃且均不為0，則$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=-$\frac{1}{2}$．

11．下列四個(gè)結(jié)論正確的序號(hào)是②③．（填上所有正確的序號(hào)）
①函數(shù)y=xsinx在區(qū)間（0，π）內(nèi)無(wú)最大值；
②數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ（n∈N^*），對(duì)任意的正整數(shù)n總存在正整數(shù)m，使得 S_n=a_m；
③若方程$\frac{{|{sinx}|}}{x}$=k（k＞0）有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₂＞x₁），則sinx₁+x₁cosx₂=0．

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與雙曲線(xiàn)5x²-$\frac{5}{4}$y²=1有相同的焦點(diǎn)，且二者的離心率之積是1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值．

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中點(diǎn)，設(shè)二面角P-AD-B的值為θ．
（Ⅰ）當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，求證：AP⊥CE；
（Ⅱ）當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時(shí)，求二面角P-AB-D的余弦值．

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}}$），且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₂作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交橢圓于點(diǎn) A、B及C、D．
（1）求橢圓的方程；
（2）求$\frac{1}{{|{{A}{B}}|}}$+$\frac{1}{{|{CD}|}}$的值；
（3）求|AB|+$\frac{9}{16}$|CD|的最小值．

7．在等差數(shù)列{a_n}中公差d≠0，若a₃+a_m-a₇=a_n+a₂-a₅，則m-n=（　�。�

A．

$\frac{1}{4}$

B．

1

C．

2

D．

4

6．正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，高為4，點(diǎn)E、F、G分別為SD，CD，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PG∥平面AEF，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為（　�。�

A．

$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$

B．

2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{6}$

C．

$\sqrt{5}$+$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

D．

2$\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$